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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 64

Calcule

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1)

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1)

Se fizermos apenas x = 2 na expressão, obteríamos a seguinte indeterminação:

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = (sqrt(6 - 2) - 2)/(sqrt(3 - 2) - 1) = (2 - 2)/(1 - 1) = (0)/(0)

Assim, temos que fazer algumas manipulações algébricas para resolver esse limite!!

E aí?? Bora lá? 😉

Passo 2

Primeiro vamos racionalizar o denominador multiplicando pelo seu conjugado:

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) * (sqrt(3 - x) + 1)/(sqrt(3 - x) + 1) :.

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(6 - x) - 2) (sqrt(3 - x) + 1))/(2 - x)

Passo 3

Vamos agora multiplicar pelo conjugado de sqrt(6 - x) - 2 :

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(6 - x) - 2) (sqrt(3 - x) + 1))/(2 - x) * (sqrt(6 - x) + 2)/(sqrt(6 - x) + 2) :.

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(6 - x) - 2) (sqrt(6 - x) + 2))/((sqrt(6 - x) + 2)) * ((sqrt(3 - x) + 1))/(2 - x) :.

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(6 - x))^2 - (2)^2)/((sqrt(6 - x) + 2)) * ((sqrt(3 - x) + 1))/(2 - x) :.

underset(x -> 2)(lim) (2 - x)/((sqrt(6 - x) + 2)) * ((sqrt(3 - x) + 1))/(2 - x) :.

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(3 - x) + 1))/((sqrt(6 - x) + 2))

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(3 - x) + 1))/((sqrt(6 - x) + 2)) :.

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = ((sqrt(3 - 2) + 1))/((sqrt(6 - 2) + 2)) :.

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = ((sqrt(1) + 1))/((sqrt(4) + 2)) :.

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = (1)/(2)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(6 - x) - 2)/(sqrt(3 - x) - 1) = (1)/(2)

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