Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 43
Demonstre que
Passo 1
Falaiii seus lindx’s
Vem comigo que no caminho eu te explicoo, não fique avexadooo...
Simboráááá..
Estamos interessados em estudar o comportamento do limite da função quando se aproxima de pela direita Queremos demonstrar que esse limite é igual a menos infinito.
Para entendermos melhor a demonstração desse limite, vamos revisar alguns conceitos importantes.
A função o logaritmo natural de é definida para todos os valores de estritamente maiores que zero.
Ela representa o expoente ao qual a base (um número irracional aproximadamente igual a ) deve ser elevada para obter
Quando se aproxima de tende a menos infinito. Isso ocorre porque a função é decrescente para e se aproxima de menos infinito à medida que se aproxima de .
Passo 2
O enunciado pede para usarmos a definição de limite para demonstrar que o explode para .
A definição precisa de limite diz que se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Em outras palavras, o que essa definição diz é que qualquer número negativo , deve existir um intervalinho próximo tal que o valor da função seja menor que .
Como é arbitrário, os valores da função podem ser tomados tão pequenos quanto desejarmos e, assim, ela tenderá a .
Assim, o que devemos fazer é achar (possivelmente em função de ) tal que implica .
Passo 3
Neste passo vamos conjecturar um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Como o limite desejado é um limite lateral, a definição fica ligeiramente modificada: Seja um número dado, devemos achar tal que
se então
Como neste caso e , devemos achar tal que
se , então
Sabemos que .
Assim, temos que . Como queremos que , tomamos .
Passo 4
Tomando , temos que implica pois implica já que exponencial é uma função crescente.
Assim o limite é demonstrado pois com essa escolha de a primeira afirmação implica a segunda.
Resposta
Demonstração.