Encontre uma fórmula para a função inversa.

y = e^x / (1 + 2 * e^x)

Passo 1

Muito bem, galera. Essa questão pede pra encontrarmos a inversa dessa função aqui:

y = e x 1 + 2 e x

Pra fazermos isso, precisamos escrever x como uma função de y . Ou seja, temos que isolar o x .

Vamos ver direitinho como fazer isso.

Passo 2

Pra isolar o x , vamos começar invertendo os dois lados da nossa equação:

y = e x 1 + 2 e x → 1 y = 1 + 2 e x e x

Mas, por que fizemos isso?

Porque agora conseguimos separar a fração do lado direito em duas frações e fazer algumas simplificações. Olha só:

1 y = 1 e x + 2 e x e x → 1 y = 1 e x + 2

Reorganizando, temos:

1 e x = 1 y - 2 → 1 e x = 1 - 2 y y

1 e x = 1 - 2 y y

Agora vamos “desinverter” a expressão para facilitar:

e x = y 1 - 2 y

Para isolar o x , aplicamos logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ e x = ln ⁡ y 1 - 2 y →

→   x = ln ⁡ y 1 - 2 y

Pra finalizar, vamos chamar x de f - 1 ( x ) e y de x :

f - 1 x = ln ⁡ x 1 - 2 x

Boa! Conseguimos!

Resposta

f - 1 ( x ) = ln ⁡ x 1 - 2 x

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