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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 44

Encontre a derivada da função.

y = 2 3 4 x

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos hoje essa derivada.

A gente tem a função:

y = 2 3 4 x

E precisamos derivar ela. O complicado aqui é que como iremos proceder em relação a isso? Não temos de cara nenhuma regra para derivar isso daí.

A gente vai utilizar uma propriedade de funções logaritmos:

a x = e x ln ⁡ a

Além disso, vamos utilizar também a regra da cadeia, já que a gente tem uma composição de função.

A regra da cadeia é assim:

d d x f g x = d f g x d g x ∙ d g x d x

Passo 2

Então tá, vamos começar:

y = 2 3 4 x

Vamos derivar:

d y d x = d d x 2 3 4 x

Aplicando a regra da cadeia:

d y d x = d 2 3 4 x d 3 4 x ∙ d 3 4 x d x

Veja que para o termo destacado anterior, teremos que aplicar a regra da cadeia novamente:

d y d x = 2 3 4 x ∙ d 3 4 x d 4 x ∙ d 4 x d x

Realizando a derivação pela nova aplicação da regra da cadeia:

d y d x = 2 3 4 x ln ⁡ 2 ∙ 3 4 x ln ⁡ 3 ∙ 4 x ln ⁡ 4

Reorganizando todo mundo:

d y d x = ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ 3 ∙ ln ⁡ 4 ∙ 2 3 4 x ∙ 3 4 x ∙ 4 x

Resposta

y ' = 2 3 4 x ln ⁡ 2 3 4 x ln ⁡ 3 4 x ln ⁡ 4

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