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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 27

Encontre d y // d x

y = x^3 s e n^2 ( 5 x )

Passo 1

Vamos aplicar d // d x de ambos os lados! Ficamos com:

(d y)/(d x) = (d (x^3 s e n^2 (5 x)))/(d x)

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

(d y)/(d x) = (x^3)^' * s e n^2 (5 x) + x^3 * (s e n^2 (5 x)) '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

x^3^' * s e n^2 ( 5 x )

3 x^2 s e n^2 ( 5 x )

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

x^3 * (s e n^2 (5 x))^'

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^2

f^' (x) = 2 x

f^' (g (x)) = 2 s e n ( 5 x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = s e n ( 5 x )

Para fazer essa derivada vamos precisar de outra regra da cadeia!

s e n (5 x)^' = a^' (b (x)) * b^' (x)

a (x) = s e n (x)

a^' (x) = cos (x)

Como b (x) = 5 x , ficamos com

a^' (b (x)) = cos (5 x)

b (x) = 5 x

b^' (x) = 5

Agora, a nossa regra da cadeia de (a (b (x)))^' ficamos com

5 cos (5 x)

E esse é o nosso g^' (x)

g^' (x) = 5 c o s ( 5 x )

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é (s e n^2 (5 x))^'

(s e n^2 (5 x))^' = 2 s e n (5 x) * 5 c o s ( 5 x )

(s e n^2 (5 x))^' = 10 s e n (5 x) cos (5 x)

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

(d y)/(d x) = (x^3)^' * s e n^2 (5 x) + x^3 * (s e n^2 (5 x)) '

(d y)/(d x) = 3 x^2 * s e n^2 (5 x) + x^3 * 10 s e n (5 x) cos (5 x)

Podemos colocar x^2 s e n (5 x) em evidencia e ficamos com

(d y)/(d x) = x^2 s e n (5 x) * (3 s e n (5 x) + 10 x c o s (5 x))

Resposta

(d y)/(d x) = x^2 s e n (5 x) * (3 s e n (5 x) + 10 x c o s (5 x))

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