Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 46
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Essa questão pede pra gente derivar a função
Repare que temos aqui uma função dentro da outra como se fosse uma casca de cebolas. Nesses casos dizemos que temos uma função composta. E para encontrar sua derivada devemos usar a regra da cadeia.
Essa regra diz o seguinte
Sendo:
Sua derivada será:
Ou seja, a derivada da de fora, vezes a derivada da de dentro.
Mas repare que nossa função de dentro também é uma função composta. Isso vai fazer com que tenhamos que aplicar a regra da cadeia por mais uma vez, já que a função de dentro também é uma função composta.
Vamos repetir esse processo até chegar a derivada mais interna. Beleza?!
Show, vamos ver isso acontecendo no passo a passo abaixo. Vem comigo.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia primeiramente para a função de fora.
Podemos pensar nela como se fosse uma função
E teremos:
Assim, a derivada dela será:
Ou seja:
Nossa trabalho agora é derivar essa última parte
Que é composta por duas parcelas. Assim, basta fazer a derivada de cada uma
A primeira é tranquila,
mas a segunda cai em outra regra da cadeia. Vamos ver como ela será.
Passo 3
Para calcular vamos pensar na função de dentro como sendo um . Assim:
Então:
E usando a regra da cadeia:
O que nos dará:
E ficamos novamente como algo parecido com o passo anterior. Teremos que derivar essa última parte aí.
E já sabemos que . Então nos resta derivar
Passo 4
E para fazer a derivada de
Precisaremos aplicar a regra da cadeia mais uma vez. E dessa vez chamaremos
E nossa função se torna:
E sua derivada será dada por:
Ou seja:
Prontinho, mas agora precisamos voltar encaixando todos esses resultados.
Passo 5
Agora é hora de substituir na expressão.
E do passo 2 vimos que
No passo 3 fizemos:
E, finalmente, no passo 5 fizemos a última derivação, encontrando
Prontinho. Derivada calculada.