Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 44
O número de franquias de uma certa cadeia popular de cafeterias é mostrada na tabela. (Dados os números de franquias no dia de outubro de cada ano.)
- Encontre a taxa média do crescimento:
- Estime a taxa de crescimento instantânea em tomando a média de duas taxas médias da variação. Quais são suas unidades?
- Estime a taxa instantânea de crescimento em medindo a inclinação de uma tangente.
- Estime a taxa instantânea de crecimento em e compare-a com a taxa de crescimento em 2006. O que você pode concluir?
( de a de a de a
Em cada caso, inclua as unidades.
Passo 1
E aí, preparado para mais uma questão sobre taxas de variação? Bora meter ficha!
Para estimarmos as taxas médias pedidas na questão, vamos ter que usar a seguinte equação (onde é o número de franquias da cafeteria, o tempo em anos e a taxa de variação):
Nós pegamos a equação da inclinação de uma reta e adptamos às nossas variáveis, porque a inclinação de uma reta nada mais é do que uma taxa de variação, tranquilo? Esse conceito é importante que só e ta sempre aparecendo em cálculo, então fica atento!
- Para o caso , extraindo os valores da tabela – os pontos e – e jogando na equação:
- Para estimarmos a taxa instantânea de variação no ano , iremos pegar a taxa média entre e e a taxa média entre e . Pegamos esse valores porque uma taxa foi calculada pegando um ponto imediatamente antes de e a outra um ponto imediatamente depois. Sempre pegamos os pontos mais próximos do nosso ponto!
- Como queremos estimar a taxa em , vamos usar os pontos de a para fazer um ajuste linear que fornece a equação da reta que melhor representa esses pontos:
- Vamos repetir o processo do passo , mas usando os anos de a :
Para o caso , de forma semelhante, utilizando os pontos e :
Por fim, para o caso , utilizando os pontos e :
Como é dado em franquias e em anos, a unidade de toda e qualquer taxa de variação que encontrarmos aqui nesse exercício vai ser , belê? Bora continuar!
Passo 2
Para fazermos a estimativa, basta tirarmos a média das duas taxas que escolhemos! Vai ficar assim olha:
Passo 3
x
Para calcular a inclinação da tangente, derivamos a equação obtida:
Em , a taxa de crescimento era de .
Passo 4
Agora, derivamos:
Então, em a taxa de crescimento era de .
Comparando com a taxa de , temos valores positivos em ambas, o que significa que nos dois casos o número de franquias estava crescendo. Porém, como a taxa em é maior que a de , podemos concluir que a velocidade de crescimento diminuiu de um ano para o outro.
Resposta