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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 77

Justifique (3) para o caso h < 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos justificar a seguinte expressão

f (u) <= (g (x + h) - g (x))/(h) <= f (v)

Para o caso h < 0 .

Para isso, temos que ter ideia do Teorema do Valor Extremo.

Esse teorema diz que há números u e v em [ x + h , x ] tal que f ( u ) = m e f ( v ) = M , onde m e M são os valores mínimo e máximo absoluto de f em [ x + h , x ] .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Suponhamos que h < 0 .

Como f é contínuo em [ x + h , x ] , pelo Teorema do Valor Extremo e pela proprieda 8 das integrais, temos que:

m (- h) <= int_(x + h)^x f (t) d t <= M (- h)

Isso é

f ( u ) (- h) <= int_(x + h)^x f (t) d t <= f ( v ) (- h)

Desde que - h > 0 , podemos dividir toda a inequação por ( - h )

f (u) <= (1)/(h) int_x^(x + h) f (t) d t <= f ( v )

Pela equação 2, temos

(g (x + h) - g (x))/(h) = (1)/(h) int_x^(x + h) f (t) d t

Para h != 0 , então, portanto

f (u) <= (g (x + h) - g (x))/(h) <= f ( v )

Que é a Equação 3, no caso em que h < 0

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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