12. Calcule

a ) ∫ sin ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro, utilizaremos a identidade trigonométrica sin ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b   + sin ⁡ ( a - b )

∫ sin ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x =     ∫ 1 2 sin ⁡ 5 x + x   + sin ⁡ ( 5 x - x ) = 1 2 ∫ ( sin ⁡ 6 x + sin ⁡ 4 x ) d x

Passo 2

Lembrando que ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo   α e k constantes. Assim,

1 2 ∫ ( sin ⁡ 6 x + sin ⁡ 4 x ) d x = 1 2 - 1 6 cos ⁡ 6 x - 1 4 cos ⁡ 4 x + k =   - 1 12 cos ⁡ 6 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k

Resposta

Logo, o resultado dessa integral é

∫ sin ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x =   - 1 12 cos ⁡ 6 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k

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