Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 26
Dois produtos e , são produzidos por determinada fábrica. Se for o custo total de produção numa jornada de 8 horas por dia, então , onde e são o número de máquinas que são usadas para produzir e , respectivamente. Se durante a jornada de horas tivermos máquinas em funcionamento, determine quantas devem produzir e quantas devem produzir , para que o custo total seja mínimo.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Já temos a equação que queremos minimizar: . Mas essa equação é de duas variáveis! Queremos uma que tenha apenas uma variável. Vamos usar a restrição que a questão nos deu para isso. Ele diz que o total de máquinas em funcionamento em uma jornada de trabalho é , como e são, respectivamente, a quantidade de máquinas que produzem e , ficamos com o total de máquinas:
Isolando
Substituindo em
Agora que temos a função custo em uma variável, vamos derivar e igualar a .
Passo 3
Derivando :
Igualando a
Então serão máquinas produzindo . O restante das máquinas produzirá , ou seja:
Passo 4
Só pra ter certeza, vamos ver os valores nos extremos do intervalo de análise. Os extremos do intervalo ocorrerão nos dois seguintes casos: todas as máquinas fabricam ou todas as máquinas fabricam . Ou seja: ou
Agora para o ponto que encontramos:
Então como já esperávamos, o ponto que encontramos é o mínimo absoluto da função nesse intervalo!
Resposta
máquinas produzirão e máquinas produzirão para que se tenha o menor custo.