Sejam a hipérbole de equação reduzida , e suas assíntotas, e uma reta.

(a) Prove que, se é uma das assíntotas, então .

(b) Prove que, se não é assíntota, mas paralela a uma delas, então contém um único ponto.

(c) Prove que, se contém o centro da hipérbole, então ou é secante a . Descreva a localização de em cada um dos dois casos.

(d) Suponha que seja secante a . A que condições devem obedecer e para que os pontos de pertençam ao mesmo ramo da hipérbole? E para que não pertençam.

(e) Prove que, para cada número real , existem um único ponto do ramo e um único ponto do ramo tais que . Faça uma figura para visualizar esta propriedade (vale resultado análogo para ).

(b) Agora vamos supor que seja uma reta paralela à nossa assíntota.

Se a equação da assíntota é:

Então uma reta paralela a ela tem essa equação aqui:

Ou seja, tem o mesmo coeficiente angular, mas difere por uma constante!

Substituindo isso na equação da hipérbole:

Então:

E o valor de que satisfaz essa equação é:

Ou seja, temos apenas uma solução para o nosso sistema, que é exatamente o que queríamos provar.

(c) Agora vamos supor que seja uma reta qualquer que passa pela origem.

Então a forma geral dessa reta é:

Vamos substituir isso na equação da hipérbole:

Agora vamos isolar :

Supondo que , vamos dividir tudo por esse termo e tirar a raiz dos dois lados:

Isso quer dizer que quando nós temos duas soluções, e então a reta toca a hipérbole em dois pontos. Chamamos isso de uma reta secante à hipérbole.

Mas quando a equação vira uma contradição! E então não temos solução.

Aliás, vamos ver qual é o caso em que isso acontece:

Esse é o coeficiente angular da assíntota! Beleza, esse é um resultado esperado! Porque a assíntota realmente não toca a hipérbole.

(d) Agora vamos ver o que acontece quando a equação da reta é:

Substituindo isso na equação da hipérbole:

Vamos organizar isso como uma equação de segundo grau em :

Cada solução dessa equação é um ponto em que a nossa reta encontra a hipérbole.

O primeiro ramo da hipérbole inclui todos os pontos que tem , e o segundo inclui todos os .

Isso quer dizer que se as duas soluções e estiverem no mesmo ramo, então:

Porque terão o mesmo sinal! E se as duas soluções estiverem em ramos diferentes, então:

Lembra da fórmula para o produo das raízes de uma equação?

Então:

Então, se queremos ter duas raízes no mesmo ramo:

O primeiro termo é sempre positivo, porque tudo nele está ao quadrado. Então a condição para essa expressão dar um número positivo é:

Mas tem outra condição aí! A equação precisa ter duas raízes distintas. Isso significa que se a equação é essa:

Então para que as duas raízes sejam distintas:

Já que a nossa equação é:

Então:

Agora vamos arrumar um pouco:

O primeiro e o último termo se cancelam:

Então, multiplicando tudo por e invertendo o sinal da inequação:

Então, resumindo, a condição para que as duas raízes estejam no mesmo ramo é:

E agora vamos ver o que precisa acontecer para as duas soluções estarem em ramos diferentes:

O produto das raízes é:

Então:

A única forma de isso ser negativo é se o denominador for negativo, já que o numerador é sempre positivo. Então:

E a condição de termos duas raízes distintas?

Já que o produto das raízes (que é ) é menor que zero, então também é! Então é um número positivo! Por isso essa desigualdade sempre é satisfeita.

Então a única condição para termos raízes em ramos diferentes é:

(e) Vamos lá, agora queremos provar que existe só um ponto de um dos ramos e um ponto do outro ramo, tais que:

Onde é um número real. Lembrando que é uma das assíntotas.

Então pessoal, vamos pensar o seguinte: imagine o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância da assíntota.

Concorda que esse conjunto é uma reta paralela à assíntota? Isso quer dizer que os nossos pontos e estão em retas do tipo que a gente viu lá no item (b):

Quem controla a distância dessa reta até a assíntota é a constante ! E a gente viu que essa reta toca a hipérbole em um único ponto! E a abcissa desse ponto, conforme a gente calculou, é:

A única forma de duas retas tocarem a hipérbole à mesma distância de (sem que elas sejam a mesma reta), é se elas estiverem em lados opostos:

Ou seja:

Beleza, até aqui provamos que temos apenas dois pontos e que tocam a hipérbole à mesma distância da assíntota.

Falta provar que eles estão em ramos diferentes! Pra isso é só voltar na fórmula de antes:

Quando o sinal da constante muda, e todo o resto fica igual, fazemos :

Ou seja: os dois pontos tem abcissas com sinais opostos, e então estão em ramos diferentes!