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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 42 - b

Uma lamina esférica é representada pela equação vetorial

r →   u , v = a cos ⁡ u c o s v       ,     a   s e n   u cos ⁡ v ,     a   s e n   v

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

  1. Supondo a = 4 , representar sobre a esfera as curvas coordenadas obtidas fixando u = π 4 e v   =   π 6 , respectivamente
  2. Determinar os vetores tangentes ∂ r → ∂ u   π 4 , π 6 e ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , represente-os sobre a esfera
  3. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , representando -o no corresponde ponto P
  4. Supondo que a densidade da esfera é constante. calcular o momento de inercia da esfera com relação ao eixo y

Passo 1

  1. Determinar os vetores tangentes ∂ r → ∂ u   π 4 , π 6 e ∂ r → ∂ v π 4 , π 6 , represente-os sobre a esfera

Sabendo que

r →   u , v = a cos ⁡ u c o s v       ,     a   s e n   u cos ⁡ v ,     a   s e n   v

Vamos calcular as derivadas parciais

r u = 4 cos ⁡ v * - s e n u ,   4   c o s u cos ⁡ v ,   0

r v = - 4   s e n v   c o s u ,   - 4   s e n v   s e n u ,   4 cos ⁡ v

Agora vamos orientar esses vetores pros pontos do enunciado π 4 , π 6 ,

r u π 4 , π 6 = - 2 ,   2 , 0

r v π 4 , π 6 = - 6 ,   6 , 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se a equação de uma superfície S é z = f x , y , onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1 o que você pode dizer sobre A(S)?
A parte do plano com equação vetorial r u , v = { u + v , 2 - 3 u , 1 + u - v } que é dada por 0 ≤ u ≤ 2,- 1 ≤ v ≤ 1
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0ab .
Encontre a área da superfície.A parte do plano x + 2 y + 3 z = 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c