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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 37

Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 4   x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 . Calcular a massa da lâmina se a densidade no ponto x , y , z é proporcional à distância desse ponto ao eixo z

Passo 1

SUPERDICA : Estamos trabalhando com uma região com simetria circular. Logo é mais interessante trabalharmos com coordenadas polares

Por exemplo “massa da lâmina se a densidade no ponto x , y , z é proporcional à distância desse ponto ao eixo z “ Pode ser entendido como

M = k r

Onde k é o fator de proporcionalidade, r é o raio – distancia ao eixo z.

Vamos montar nossa integral

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

O próximo passo então é achar as derivadas parciais. Nossa função z é

z 2 = 4   x 2 + y 2

z = 2   x 2 + y 2

Então

z x = 2 x   x 2 + y 2

z y = 2 y   x 2 + y 2

Passo 3

Vamos montar essa integral. Primeiro vamos resolver as parciais em cartesianas e depois fazer a troca para polares. Ok ? 😉

∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 2 y   x 2 + y 2 2 + 2 x   x 2 + y 2 2 d y d x

=   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 4 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 d y d x

=   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 4 d y d x

= 5 ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   d y d x

Agora sim! Vamos fazer a mudança de coordenadas. Não esquecendo do Jacobiano 😉

∫ 0 2 π ∫ 0 1 k   r * 5   r d r d θ

Sabemos o intervalo de r porque

z = 0 → r = 0

z = 2 → 2 2 = 4 r 2

→ r = 1

k 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2   d r d θ

=   k 5 * 2 π * r 3 3 0 1

2 5 π k 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S f   d S =   2 5 π k 3

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