Calcule o centro de massa da superfície homogênea (densidade constante) dada:
Passo 1
Como a densidade é constante, não precisamos nos preocupar com ela.
Vamos calcular a massa primeiro:
Como está parametrizado, a gente precisa fazer . Vamos lá então:
Passo 2
Agora a norma:
A nossa massa então é dada por:
A gente pode jogar isso pra coordenadas polares:
Reescevendo então:
Vamos calcular aqui então:
Fazemos
Voltamos pra variável
Ok, essa é a massa! Vamos para o centro de massa agora...
Passo 3
As coordenadas do centro de massa são:
Vamos calcular então:
A coordenada :
E a coordenada :
(aqui eu fiz uma consultinha pra adiantar essa integral, mas ela sai por integração por partes!)
O centro de massa então é:
e... agora acabou! 🙏