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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 2a

Calcule o centro de massa da superfície homogênea (densidade constante) dada:

  1. σ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2 ,     u 2 + v 2 ≤ 1 .

Passo 1

Como a densidade é constante, não precisamos nos preocupar com ela.

Vamos calcular a massa primeiro:

M = ∬ σ f x , y , z d S

Como está parametrizado, a gente precisa fazer d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v . Vamos lá então:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0,2 u

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , 2 v )

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

= i → 0 2 u 1 2 v - j → 1 2 u 0 2 v + k → 1 0 0 1

=   i → - 2 u - j → 2 v + k → ( 1 )

=   - 2 u   i → - 2 v j → + k →

Passo 2

Agora a norma:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + - 2 v 2 + 1 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1  

A nossa massa então é dada por:

M = ∬ K 4 u 2 + 4 v 2 + 1   d u d v

A gente pode jogar isso pra coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = x 2 + y 2 = ρ 2 ,   0 ≤ ρ ≤ 1

Reescevendo então:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 ρ 2 + 1   ρ   d ρ d θ

Vamos calcular aqui então:

Fazemos u = 4 ρ 2 + 1 ; d u = 8 ρ   d ρ

M = 1 8 ∫ 0 2 π ∫ u   d u d θ

M = 1 8 ∫ 0 2 π 2 3 u 3 2   d θ

Voltamos pra variável ρ :

M = 1 8 ∫ 0 2 π 2 3 ( 4 ρ 2 + 1 ) 3 2 0 1 d θ

M = 1 8 ∫ 0 2 π 2 3 5 3 2 - 1 3 2 d θ

M = 1 12 2 π 5 5 - 1

= π 6 5 5 - 1

Ok, essa é a massa! Vamos para o centro de massa agora...

Passo 3

As coordenadas do centro de massa são:

x - = ∬ σ x   d S

y - = ∬ σ y   d S

z - = ∬ σ z   d S

Vamos calcular então:

x - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ cos ⁡ θ   4 ρ 2 + 1   ρ   d ρ d θ

= 1 M ∫ 0 2 π cos ⁡ θ   d θ ∫ 0 1 ρ 2 4 ρ 2 + 1   d ρ

= 1 M ⋅ 0 ⋅ 4 ρ 2 + 1   ρ   d ρ d θ = 0

A coordenada y :

y - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ sen θ ⁡ θ   4 ρ 2 + 1   ρ   d ρ d θ  

= 1 M ∫ 0 2 π sen θ ⁡ θ   d θ ∫ 0 1 ρ 2 4 ρ 2 + 1   d ρ

= 1 M ⋅ 0 ⋅ ∫ 0 1 ρ 2 4 ρ 2 + 1   d ρ = 0

E a coordenada z :

z - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2   4 ρ 2 + 1   ρ   d ρ d θ

(aqui eu fiz uma consultinha pra adiantar essa integral, mas ela sai por integração por partes!)

= 1 M ∫ 0 2 π 1 120 6 x 2 - 1 4 x 2 + 1 3 2 0 1 d θ  

= 1 M ⋅ 1 120 ∫ 0 2 π 5 ⋅ 5 3 2 - - 1 + 1 d θ

= 1 π 6 5 5 - 1 ⋅ 1 120 2 π 25 5 + 1

= 6 5 5 - 1 π 60 25 5 + 1

= 25 5 + 1 10 5 5 - 1

O centro de massa então é:

C m = 0,0 , 25 5 + 1 10 5 5 - 1  

e... agora acabou! 🙏

Resposta

C m = 0,0 , 25 5 + 1 10 5 5 - 1

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