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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 38

Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 3   x 2 + y 2 limitado z = 0   e   z = 3 . Determine o momento de inercia da lâmina ao eixo z se a densidade é f   x , y , z   = 1

Passo 1

Primeiro temos que pescar as ideias centrais do texto. “Determine o momento de inercia da lâmina ao eixo z” significa que a distancia ate o eixo é R.

A equação pra momento de inercia é um pouco diferente das equações que usamos. Mas so um pouquinho

I = ∫ ∫ S δ x , y , z 2 f ( x , y , z )   d S  

Basicamente teremos um fator a mais na integral. O que não muda muito nossa forma de pensar. O enunciado ainda disse que

f   x , y , z   = 1

O que nos facilita ainda mais.

Passo 2

Vamos fazer aquela substituição que estamos já calejados de fazer

∫ ∫ S δ x , y , z 2 f ( x , y , z )   d S   =   ∫ ∫ R δ x , y , z 2 f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Vamos caluclar as derivadas parciais de z

z 2 = 3   x 2 + y 2 → 3   x 2 + y 2

Logo

z x = 3 x   x 2 + y 2

z y = 3 y   x 2 + y 2

Passo 3

Vamos unir isso a integral

∫ ∫ R δ x , y , z 2 f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 3 x   x 2 + y 2 2 + 3 y   x 2 + y 2 2 d y d x

∫ ∫ R δ x , y , z 2 f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 3 x 2 + y 2 x 2 + y 2 d y d x

=   2 ∫ ∫ R δ x , y , z 2 f   x , y ,   z ( x , y )   d y d x

Nossa função f   x , y , z   = 1 , então ficamos com

=   2 ∫ ∫ R δ x , y , z 2 d y d x

Agora sim podemos integrar em Polares, já que nosso Delta é r

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2   r d r d θ

= 2 * 2 π * r 4 4 0 3

= 9 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

I = ∫ ∫ S δ x , y , z 2 f ( x , y , z )   d S = 9 π

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