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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 41 - c

Uma superfície S é representada pela equação vetorial r →   u , v   = 4 cos ⁡ u ,       4 s e n   u   ,       4 v

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ v ≤ 2

  1. Determinar a equação cartesiana de S
  2. Desenhar sobre a superfície S as curvas coordenadas obtidas fixando u = π 3 e v   =   1 , respectivamente
  3. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v   no ponto em que u = π 3 e v = 1 , representando -o no correspondente ponto P de S
  4. Supondo que uma lamina de densidade constante é representada por r →   u , v ,   determine o momento de inercia da lamina em relação ao eixo z

Passo 1

  1. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v   no ponto em que u = π 3 e v = 1 , representando -o no correspondente ponto P de S

Representei o ponto geometricamente. Vamos Calcular ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v

Primeiro calculando as parciais

r u = - 4 s e n u , 4 c o s u , 0  

r v = 0,0 , 4

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v =   x → y → z → - 4 s e n   u   4 cos ⁡ u 0 0 0 4

∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v = 16 cos ⁡ u ,   16 s e n   u , 0  

Considerando que o ângulo é u = π 3

∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v = 8 ,   8 3   , 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v = 8 ,   8 3   , 0

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