Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 58
Numa cidade com habitantes, a taxa de crescimento de uma epidemia é diretamente proporcional ao produto dos números de pessoas infectadas e não-infectadas. Determine o número de pessoas infectadas quando a taxa de crescimento da epidemia for máxima.
Passo 1
Para resolver essa questão, vamos montar um sistema com sendo o número de pessoas infectadas e o de pessoas não-infectadas. Como existem 11.000 habitantes, temos:
E já que a taxa é diretamente proporcional ao produto, temos:
Precisamos determinar quando for máxima.
Vamos substituir em .
Agora nos temos a função taxa dependendo dos valores de , lembre-se que é uma constante de proporcionalidade.
Passo 2
Para achar o máximo de nós derivamos e igualamos a , mas já podemos perceber que, em termos de gráfico, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, o que gera um máximo absoluto.
Para , .
Dessa forma, o número de infectados será quando a taxa for máxima. Como a questão falou em taxa de CRESCIMENTO, nosso .