Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 20
A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade da força exercida por um corpo e massa sobre um corpo de massa é
Em que é a constante gravitacional e é a distância entre os corpos.
- Se o corpos estão se movendo, encontre e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?
- Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de quando . Quão rápido essa força varia quando ?
Passo 1
Opa! Bora resolver essa questão!
O enunciado pede para encontrar a taxa de variação da intensidade da força gravitacional em relação à distância denotada por e explicar seu significado.
Além disso, pergunta-se o que o sinal de menos na derivada indica. Finalmente, o enunciado solicita que calculemos a variação da força gravitacional quando , dado que a taxa de variação da força é de quando
Para encontrar a derivada , devemos diferenciar a função em relação a Utilizaremos a regra do quociente e a regra da potência para isso.
representa a taxa de variação da força gravitacional em relação à distância entre os corpos. Em outras palavras, indica o quanto a força gravitacional está mudando conforme a distância entre os corpos muda.
O sinal de menos na derivada indica que a força gravitacional está diminuindo à medida que a distância aumenta.
Utilize a taxa de variação da força fornecida quando e aplique-a para encontrar a variação da força quando
Isso pode ser feito utilizando a regra da cadeia e a taxa de variação para estimar a mudança na força gravitacional.
Passo 2
O enunciado nos dá a Lei de Gravitação de Newton:
Em que é a constante gravitacional e é a distância entre os corpos.
Sabendo disso na letra (a) temos que calcular . Pra isso basta derivarmos :
significa a taxa de variação de quando ocorre uma variação infinitesimal em . O sinal de menos explica que se os corpos estão se afastando, a força exercida pelo corpo de massa sobre um corpo de massa vai diminuindo.
Passo 3
O enunciado diz que a terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de quando , ou seja:
A partir disso vamos calcular quão rápido essa força varia quando Com a derivada acima podemos calcular o valor da contante . Então, ficamos com:
Agora basta substituirmos e na expressão de . Então, ficamos com:
Prontinho!