16) Uma xícara de café recém coado tem a temperatura de 95 ° C em uma sala a 20 ° C. Quando sua temperatura for 70 ° C ele estará esfriando a uma taxa de 1 ° C por minuto. Quando isso ocorre?

A temperatura é 70 ° C após aproximadamente 20,3 minutos.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 18

16) Uma xícara de café recém coado tem a temperatura de C em uma sala a C. Quando sua temperatura for C ele estará esfriando a uma taxa de C por minuto. Quando isso ocorre?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Aqui a gente vai avaliar o resfriamento de um café coado a temperatura ambiente de . Inicialmente o café esta a e quando ele atinge a sua taxa de resfriamento é . Ou seja:

O que temos que responder aqui é: Em que momento o café atinge essa temperatura?!

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

Onde é a temperatura em função do tempo , a constante é a temperatura do meio circundante e é a taxa de resfriamento relativa e constante.

Podemos dizer que:

Então temos:

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos .

Passo 2

Nesse caso, a xícara em um meio circundante com a temperatura C a temperatura inicial é , e quando C, a taxa de resfriamento é de C por minuto, ou seja, C/min . Então:

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

Ou neste caso:

Logo, a equação que expressa a temperatura do café é:

Quando a temperatura é C então , logo:

Logo, a temperatura é C após aproximadamente minutos.

Resposta

A temperatura é C após aproximadamente minutos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

29. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir x novas linhas de jeans é C ( x ) = 2000 + 3 x + 0,01 x 2 + 0,0002 x 3 Encontre a função custo marginalEncontre C ’ ( 100 ) e explique

33. A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é P V = n R T , onde n é o número de mols de gás e R = 0,0821 é uma consta

24. A tabela mostra como a média de idade de idade das mulheres japonesas que se casam pela primeira vez variou na última metade do século XXUse uma calculadora gráfica ou computador para modelar esse

32. Se R denota a reação do corpo para algum estímulo de intensidade x , a sensitividade S é definida como a taxa de variação de reação em relação a x . Um exemplo acontece quando a luminosidade x de

Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um pequeno lago e removida regularmente. Um modelo para a taxa de variação da população é dado pela equação d P d t = r 0 1