Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 18

16) Uma xícara de café recém coado tem a temperatura de C em uma sala a C. Quando sua temperatura for C ele estará esfriando a uma taxa de C por minuto. Quando isso ocorre?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Aqui a gente vai avaliar o resfriamento de um café coado a temperatura ambiente de . Inicialmente o café esta a e quando ele atinge a sua taxa de resfriamento é . Ou seja:

O que temos que responder aqui é: Em que momento o café atinge essa temperatura?!

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

Onde é a temperatura em função do tempo , a constante é a temperatura do meio circundante e é a taxa de resfriamento relativa e constante.

Podemos dizer que:

Então temos:

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos .

Passo 2

Nesse caso, a xícara em um meio circundante com a temperatura C a temperatura inicial é , e quando C, a taxa de resfriamento é de C por minuto, ou seja, C/min . Então:

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

Ou neste caso:

Logo, a equação que expressa a temperatura do café é:

Quando a temperatura é C então , logo:

Logo, a temperatura é C após aproximadamente minutos.

Resposta

A temperatura é C após aproximadamente minutos.

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