Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 21
(a) Se forem investidos a de juros, encontre o valor do investimento ao fim de anos, para juros capitalizados () anualmente, () semestralmente, () mensalmente, () semanalmente,() diariamente, () continuamente.
(b)Se for a quantia do investimento no instante para o caso da capitalização continua, escreva uma equação diferencial e uma condição inicial satisfeitas por .
Passo 1
Opa, bora lá! Temos um probleminha que fala de investimentos! O enunciado fala que são inverstidos a de juros e pede pra a gente calcular o valor do investimento depois de anos. Considerando que os juros são:
() anuais, () semestrais, () mensais, () semanais,() diariários, () contínuos.
Pra resolver esse problema vamos usar a seguinte fórmula:
Onde as variáveis são:
: A quantia em função do tempo;
: A quantia inicial;
: O tempo em anos;
: A taxa de juros;
: O número de capitalizações por ano.
Temos a taxa de juros de então , a quantia inicial é então e queremos saber o valor depois de anos, então, .
Desse modo obtemos a seguinte equação:
Passo 2
Agora para cada frequência de contabilização temos um deferente:
() anualmente: Os juros serão contabilizados uma vez por ano, então :
() semestralmente: Os juros serão contabilizados duas vezes por ano, então :
() mensalmente: Os juros serão contabilizados doze vezes por ano, então :
() semanalmente: Os juros serão contabilizados vezes por ano, então :
() diariamente: Os juros serão contabilizados vezes por ano, então :
() continuamente: Os juros serão contabilizados infinitas vezes ao ano, logo, o valor de tende ao infinito. Portanto a quantia pode ser o limite:
Passo 3
Beleza, agora a letra . Vamos usar o caso de capitalização continua e a gente tem que escrever uma expressão para e uma condição inicial. Bora lá!
Temos uma equação exponencial que relaciona a quantia e o tempo. Essa equação é:
Então a equação diferencial é obtida derivando a função em função de :
Portando, a relação diferencial é e o parâmetro inicial é .
Resposta
(a)
() anualmente:.
() semestralmente: .
() mensalmente: .
() semanalmente: : .
() diariamente:.
() continuamente: .
(b) A relação diferencial é e o parâmetro inicial é .