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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 41

Lembre-se de que a equação diferencial para a carga q ( t ) em um capacitor em um circuito em série R-C é

R d q d t + 1 C q = E ( t )

Em que E ( t ) é a voltagem impressa. Veja a seção 3.2. Use a transformada de Laplace para determinar a carga q ( t ) quando q 0 = 0 e E t = E 0 . e - k t ,   k > 0 . Considere dois casos: k ≠ 1 R C e k = 1 R C .

Passo 1

E aíí meu povo!!

Aqui temos que resolver essa equação:

R d q d t + 1 C q = E ( t )

Encontrando q ( t ) para E t = E 0 . e - k t ,   k > 0 e q 0 = 0

Para fazer isso, vamos usar transformadas de Laplace beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

R d q d t + 1 C q = E 0 . e - k t

R s . Q s - q 0 + 1 C Q s = E 0 . 1 s + k

Sabemos que q 0 = 0 :

R s . Q s - 0 + 1 C Q s = E 0 . 1 s + k

Q s . R . s + 1 C = E 0 . 1 s + k

Isolando Q ( s ) :

Q s = E 0 ( s + k ) R . s + 1 C

Dividindo em cima e embaixo por R :

Q s = E 0 R ( s + k ) s + 1 R C

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Se k ≠ 1 R C

Temos

Q s = E 0 R ( s + k ) s + 1 R C

Expandindo em frações parciais:

Q s = E 0 R . 1 1 R C - k 1 s + k - 1 s + 1 R C

Então, fazendo a transformada inversa, temos

q t = E 0 C 1 - k R C e - k t - e - t R C

Passo 4

Se k = 1 R C

Temos

Q s = E 0 R s + 1 R C s + 1 R C

Q s = E 0 R s + 1 R C 2

Então, fazendo a transformada inversa, temos

q t = E 0 R . t e - 1 R C t

E acabamooooosss

Resposta

q t = E 0 C 1 - k R C e - k t - e - t R C

q t = E 0 R . t e - 1 R C t

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Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário y
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