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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 9

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t 3 e 2 t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t 3 e 2 t ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = t 3 e 2 t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - 4 s . Y s - y 0 + 4 Y ( s ) = 6 ( s - 2 ) 4

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - 0 - 4 s . Y s - 0 + 4 Y ( s ) = 6 ( s - 2 ) 4

Y s . s 2 - Y s . 4 s + Y s . 4 = 6 ( s - 2 ) 4

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 - 4 s + 4 ) = 6 ( s - 2 ) 4

Y s = 6 s - 2 4 ( s 2 - 4 s + 4 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 6 s - 2 4 ( s 2 - 4 s + 4 )

E aí vamos fatorar s 2 - 4 s + 4 sabendo que suas raízes são s = 2

Y s = 6 s - 2 4 ( s - 2 ) ²

Y s = 6 s - 2 6

Multiplicando por 20 em cima e embaixo:

Y s = 1 20 120 s - 2 6

Y s = 1 20 5 ! s - 2 6

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 1 20 t 5 . e 2 t

Resposta

y t = 1 20 t 5 . e 2 t

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Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. F s = s 2 s 2 + 4 não é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes e de ordem exponencial
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L s e n ( 2 t ) u ( t - π )
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.Se L f t = F ( s ) , então L t . e 8 t f t = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nos problemas 1 e 2, use a definição da transformada de Laplace para calcular L f t . f t = t , 0 ≤ t1 2 - t , t ≥ 1
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L - 1 s s 2 - 10 s + 29