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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 51

Use a transformada de Laplace para determinar a carga q ( t ) no capacitor em um circuito em série L-C quando q 0 = 0 ,   i 0 = 0 e E t = E 0 . e - k t , k > 0

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

d 2 q d t 2 + 1 L C q = E 0 L

Para q 0 = 0 ,   i 0 = 0 e E t = E 0 . e - k t

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d 2 q d t 2 + 1 L C q = E 0 L . e - k t

s 2 . Q s - s . q 0 - q ' 0 + 1 L C Q s = E 0 L . 1 s + k

Sabendo que q 0 = 0 e i 0 = q ' 0 = 0 :

s 2 . Q s + 1 L C Q s = E 0 L . 1 s + k

Q s . s 2 + 1 L C = E 0 L . 1 s + k

Isolando Q ( s ) :

Q s = E 0 L . 1 ( s + k ) s 2 + 1 L C

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

Q s = E 0 L . 1 ( s + k ) s 2 + 1 L C

Expandindo em frações parciais, isso vai ficar

Q s = E 0 L 1 k 2 + 1 L C s + k - s k 2 + 1 L C s 2 + 1 L C + k k 2 + 1 L C s 2 + 1 / L C

Então, fazendo a transformada inversa, temos

q t = E 0 L k 2 + 1 L C e - k t - cos ⁡ t L C + k L C . s e n t L C

E acabaamoooooos

Resposta

q t = E 0 L k 2 + 1 L C e - k t - cos ⁡ t L C + k L C . s e n t L C

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Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = cos ⁡ t + ∫ 0 t e - τ f ( t - τ )d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = t . e t + ∫ 0 t τf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e nτf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ , y 0 = 0