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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 12

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + 16 y = 1 ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 16 y = 1 ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 16 y = 1

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + 16 Y ( s ) = 1 s

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 e y ' 0 = 2 , então:

s 2 . Y s - s . 1 - 2 + 16 Y ( s ) = 1 s

Y s . s 2 - s - 2 + Y s . 16 = 1 s

Y s . s 2 + Y s . 16 = 1 s + s + 2

Y s . s 2 + Y s . 16 = s 2 + 2 s + 1 s

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 + 1 6 ) = s 2 + 2 s + 1 s

Y s = s 2 + 2 s + 1 s . ( s 2 + 16 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = s 2 + 2 s + 1 s . ( s 2 + 16 )

Expandindo em frações parciais:

s 2 + 2 s + 1 s . ( s 2 + 16 ) = A s + B s + C s 2 + 16

E aí encontramos A = 1 16 ,   B = 15 16 ,   C = 1 2

Então:

Y s = 1 16 s + 15 16 s + 1 2 s 2 + 16

Y s = 1 16 s + 15 16 s s 2 + 4 ² + 1 2 s 2 + 4 ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 1 16 + 15 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 s e n ( 4 t )

Resposta

y t = 1 16 + 15 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 s e n ( 4 t )

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Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L t . s e n ( 2 t )