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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 48

Lembre-se de que a equação diferencial para a carga instantânea q ( t ) no capacitor em um circuito em série L - C - R é dada por

L d 2 q d t ² + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Veja a seção 5.4. Use a transformada de Laplace para determinar q ( t ) quando L = 1   h e n r y , R = 20   o h m s , C = 0,005   f a r a d , E t = 150   v o l t s , t > 0 e q 0 = 0 , i 0 = 0 .

Qual é a corrente i ( t ) ? Qual é a carga q ( t ) se a mesma voltagem constante estiver desligada em t ≥ 2 ?

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

L d 2 q d t ² + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Para L = 1   h e n r y , R = 20   o h m s , C = 0,005   f a r a d , E t = 150   v o l t s , t > 0 e q 0 = 0 , i 0 = 0

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

1 d 2 q d t ² + 20 d q d t + 1 0,005 q = 150

d 2 q d t ² + 20 d q d t + 200 q = 150

s 2 . Q s - s . q 0 - q ' 0 + 20 s . Q s - q 0 + 200 Q s = 150 s

Sabendo que q 0 = 0 e i 0 = q ' 0 = 0 :

s 2 . Q s + 20 s . Q s + 200 Q s = 150 s

Q s . s 2 + 20 s + 200 = 150 s

Isolando Q ( s ) :

Q s = 150 s s 2 + 20 s + 200

Q s = 150 s s + 10 2 + 10 ²

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

Q s = 150 s s + 10 2 + 10 ²

Expandindo em frações parciais, temos

Q s = 3 4 . 1 s - 3 4 . s + 10 s + 10 2 + 10 2 - 3 4 . 10 s + 10 2 + 10 ²

No primeiro termo, temos a transformada de uma constante

No segundo termo, é a transformada do cosseno com translação de 10 amostras

E no terceiro termo, a transformada do seno com translação de 10 amostras:

q t = 3 4 - 3 4 e - 10 t cos ⁡ 10 t - 3 4 e - 10 t s e n ( 10 t )

E, sabendo que a corrente é a derivada da carga, temos

i t = q ' t = 15 e - 10 t . s e n ( 10 t )

Resposta

q t = 3 4 - 3 4 e - 10 t cos ⁡ 10 t - 3 4 e - 10 t s e n ( 10 t )

i t = q ' t = 15 e - 10 t . s e n ( 10 t )

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Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. F s = s 2 s 2 + 4 não é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes e de ordem exponencial
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