Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 50

Considere a bateria de voltagem constante E 0 que carrega o capacitor representada na figura 7.49. Se dividirmos por L e definirmos λ = R 2 L e ω 2 = 1 L C , então (10) torna-se

d 2 q d t 2 + 2 λ d q d t + ω 2 q = E 0 L

Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução dessa equação, sujeita a q 0 = 0 e i 0 = 0 , é

q t = E 0 C 1 - e - λ t cosh ⁡ λ λ 2 - ω 2 t + λ λ 2 - ω 2 s e n h λ 2 - ω 2 t ,     λ > ω E 0 C 1 - e - λ t 1 + λ t ,       λ = ω E 0 C 1 - e - λ t cos ⁡ ω 2 - λ 2 t + λ ω 2 - λ 2 s e n ω 2 - λ 2 t ,     λ < ω

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

d 2 q d t 2 + 2 λ d q d t + ω 2 q = E 0 L

Para q 0 = 0 e i 0 = 0

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d 2 q d t 2 + 2 λ d q d t + ω 2 q = E 0 L

s 2 . Q s - s . q 0 - q ' 0 + 2 λ s . Q s - q 0 + ω 2 Q s = E 0 L . 1 s

Sabendo que q 0 = 0 e i 0 = q ' 0 = 0 :

s 2 . Q s + 2 λ s . Q s + ω 2 Q s = E 0 L . 1 s

Q s . s 2 + 2 λ s + ω 2 = E 0 L . 1 s

Isolando Q ( s ) :

Q s = E 0 L . 1 s . s 2 + 2 λ s + ω 2

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

Q s = E 0 L . 1 s . s 2 + 2 λ s + ω 2

Expandindo em frações parciais, isso vai ficar

Q s = E 0 L 1 ω 2 s - 1 ω 2 . s + 2 λ ω 2 s 2 + 2 λ s + ω 2

Q s = E 0 L ω ² 1 s - s + 2 λ s 2 + 2 λ s + ω 2

Vamos analisar a transformada inversa disso para diferentes relações entre λ e ω

Passo 4

Nosso Q ( s ) vale

Q s = E 0 L ω ² 1 s - s + 2 λ s 2 + 2 λ s + ω 2

Se λ > ω , então s 2 + 2 λ s + ω 2 = s + λ 2 - ( λ 2 - ω 2 ) , então, chamando ω 2 = 1 L C , temos

Q s = E 0 . C 1 s - s + λ s + λ 2 - λ 2 - ω 2 - λ s + λ 2 - ( λ 2 - ω 2 )

E então

q t = E 0 C 1 - e - λ t cosh ⁡ λ λ 2 - ω 2 t + λ λ 2 - ω 2 s e n h λ 2 - ω 2 t

Se λ < ω , então s 2 + 2 λ s + ω 2 = s + λ 2 + ( ω 2 - λ ² ) , então

Q s = E 0 . C 1 s - s + λ s + λ 2 + ( ω 2 - λ ² ) - λ s + λ 2 + ( ω 2 - λ ² )

E então

q t = E 0 C 1 - e - λ t cos ⁡ ω 2 - λ 2 t + λ ω 2 - λ 2 s e n ω 2 - λ 2 t

Por fim, se ω = λ , então s 2 + 2 λ s + ω 2 = ( s + λ ) ² , e aí

Q s = E 0 L λ ² 1 s - 1 s + λ - λ s + λ 2

E então

q t = E 0 C 1 - e - λ t 1 + λ t

Fechou? Arrasamossss provando a solução da equação o/

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.Se L f t = F ( s ) , então L t . e 8 t f t = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nos problemas 1 e 2, use a definição da transformada de Laplace para calcular L f t . f t = t , 0 ≤ t1 2 - t , t ≥ 1
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L - 1 s s 2 - 10 s + 29
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.A função f t = e t 10 não é de ordem exponencial
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L - 1 1 3 s - 1