Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 49

Determine a carga q ( t ) e a corrente i ( t ) em um circuito em série no qual L = 1   h e n r y , R = 20   o h m s , C = 0,01   f a r a d , E t = 120 . s e n 10 t   v o l t s , q 0 = 0 e i 0 = 0 . Qual é a corrente estacionária?

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

L d 2 q d t ² + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Para L = 1   h e n r y , R = 20   o h m s , C = 0,01   f a r a d , E t = 120 . s e n 10 t   v o l t s , q 0 = 0 e i 0 = 0

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

1 d 2 q d t ² + 20 d q d t + 1 0,0 1 q = 120 . s e n 10 t

d 2 q d t ² + 20 d q d t + 100 q = 120 . s e n 10 t

s 2 . Q s - s . q 0 - q ' 0 + 20 s . Q s - q 0 + 1 00 Q s = 120 . 10 s 2 + 100

Sabendo que q 0 = 0 e i 0 = q ' 0 = 0 :

s 2 . Q s + 20 s . Q s + 100 Q s = 1 200 s 2 + 100

Q s . s 2 + 20 s + 1 00 = 1200 s 2 + 100

Isolando Q ( s ) :

Q s = 1200 ( s 2 + 100 ) s 2 + 20 s + 100

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

Q s = 1200 ( s 2 + 100 ) s 2 + 20 s + 100

Expandindo em frações parciais, temos

Q s = 3 5 . 1 s + 10 + 6 . 1 ( s + 10 ) ² - 3 5 . s s 2 + 10 ²

No primeiro termo, temos a transformada de uma constante deslocada em 10 amostras

No segundo termo, é a transformada de t deslocada em 10 amostras

E no terceiro termo, a transformada do cosseno:

q t = 3 5 e - 10 t + 6 t e - 10 t - 3 5 c o s ⁡ ( 10 t )

E, sabendo que a corrente é a derivada da carga, temos

i t = q ' t = - 60 t e - 10 t + 6 . s e n ( 10 t )

Assim, a corrente estacionária é 6 . s e n ( 10 t )

Resposta

q t = 3 5 e - 10 t + 6 t e - 10 t - 3 5 c o s ⁡ ( 10 t )

i t = q ' t = - 60 t e - 10 t + 6 . s e n ( 10 t )

Assim, a corrente estacionária é 6 . s e n ( 10 t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L s e n ( 2 t )
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L e - 5 t existe para s_ _ _ _ _
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L - 1 e - 5 s s 2
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L e - 7 t
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L - 1 1 L 2 s 2 + n 2 π ² ²