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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 40

40- Sejam f e g deriváveis em p e tais que f p = g p = 0 . Supondo g ' p ≠ 0 , mostre que:

f x g x = f ' x g ' x    

Passo 1

Esse exercício nos pede para provar um dos casos da regra de L’Hopital.

Para isso, vamos precisar fazer algumas alterações nos limites envolvidos, além de precisarmos provar um lema antes.

Naturalmente, começaremos pelo lema (conhecido como lema de Cauchy):

Enunciado do lema: Sejam f , g diferenciáveis no intervalo [ a , b ] , então existe c ∈ [ a , b ] tal que f b - f a g b - g a = f ' c g ' c .

Demonstração do lema:

Consideremos a função h x = g x f b - f a - f x g b - g a

(note que é muito parecido com o resultado de multiplicar cruzado e passar tudo para um lado só, e é justamente isso que fizemos! ;)

Vejamos agora os valores de h a   e   h ( b ) .

h a = g a f b - f a - f a g b - g a = g a f b - f a g b

h b = g b f b - f a - f b g b - g a = f b g ( a ) - g b f ( a )

Notemos agora que h a = h ( b ) .

Pelo teorema do valor médio, temos que existe c ∈ [ a , b ] : h ' c = 0 .

Dessa forma, conseguimos afirmar que existe c tal que:

h ' c = g ' c f b - f a - f ' c g b - g a = 0

Portanto, segue o resultado:

g ' c f b - f a = f ' c g b - g a

f b - f a g b - g a = f ' c g ' c         ∎

Passo 2

Agora que provamos o lema, vamos provar a regra de L’hopital para o caso 0/0.

Consideremos o limite f x g x   .

Para isso, seja h > 0 um número real positivo muito pequeno tal que, pelo lema,

f p + h - f p g p + h - g ( p )   = f ' p g ' p   .

Note que isso acontece pois existe um número z ∈ p , p + h   que, pelo teorema do valor médio, satisfaz as condições do lema. Mais ainda, como h é muito pequeno, f p + h - f p = 0   e g p + h - g p = 0   .

Assim, provamos o que queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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