43-Seja f definida e derivável em R e sejam a e b raízes consecutivas de f . Mostre que

f'(a) . f'(b) ≤ 0

Passo 1

Esse problema está relacionado com o teorema do valor intermediário.

Como a , b são raízes consecutivas de f , temos, em suma, três casos:

i) ∃ c ∈ a , b : x ∈ a , c ⇒ f   é   c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o   ( a , c ) .

ii) ∃ c ∈ a , b : x ∈ a , c ⇒ f   é   d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o   ( a , c )

iii) f   é   c o n s t a n t e   n o   i n t e r v a l o   ( a , b )

Vamos desmistificar os três casos intuitivamente.

O primeiro caso diz, basicamente, que se f está crescendo a partir do momento em que

x = a , então em algum momento ela vai ter que decrescer.

O segundo caso diz o contrário: se está decrescendo, em algum momento vai ter que crescer.

Já o terceiro e último caso, considera a opção em que f não varia no intervalo a , b .

Note, no entanto, que o terceiro caso não satisfaz alguma das condições: ou existe alguma raiz entre a e b, ou f não é derivável nesse intervalo. Portanto, iremos desconsiderar essa opção.

Passo 2

Agora vem o pulo do gato:

Tanto no caso (i) como no caso (ii), existe um número real c ∈ ( a , b ) em que c pode ser ou máximo ou mínimo (local ou global) da função. De qualquer forma, notamos que f ' c = 0 , e nesse ponto haverá uma troca dos sinais da derivada.

Note também que esse c não necessariamente é único. Pode haver uma sequência limitada c i i ∈ N tal que para todo elemento dessa sequência, temos f c i = 0 .

De qualquer forma, isso não altera o resultado de que, quando a função corta o eixo x uma vez ela está crescendo e quando ela cortar na próxima vez, ela estará decrescendo (ou vice versa).

Desse modo, o caso (i) nos dá que f ' a ≥ 0   e   f ' b ≤ 0 , enquanto o caso (ii) nos fornece f ' a ≤ 0   e   f ' b ≥ 0 . De qualquer modo, temos f ' a . f ' b ≤ 0 .

Isso termina a demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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