Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 43

43-Seja definida e derivável em e sejam e raízes consecutivas de . Mostre que

Passo 1

Esse problema está relacionado com o teorema do valor intermediário.

Como são raízes consecutivas de temos, em suma, três casos:

i).

ii)

iii)

Vamos desmistificar os três casos intuitivamente.

O primeiro caso diz, basicamente, que se está crescendo a partir do momento em que

, então em algum momento ela vai ter que decrescer.

O segundo caso diz o contrário: se está decrescendo, em algum momento vai ter que crescer.

Já o terceiro e último caso, considera a opção em que não varia no intervalo

Note, no entanto, que o terceiro caso não satisfaz alguma das condições: ou existe alguma raiz entre a e b, ou não é derivável nesse intervalo. Portanto, iremos desconsiderar essa opção.

Passo 2

Agora vem o pulo do gato:

Tanto no caso (i) como no caso (ii), existe um número real em que c pode ser ou máximo ou mínimo (local ou global) da função. De qualquer forma, notamos que , e nesse ponto haverá uma troca dos sinais da derivada.

Note também que esse c não necessariamente é único. Pode haver uma sequência limitada tal que para todo elemento dessa sequência, temos .

De qualquer forma, isso não altera o resultado de que, quando a função corta o eixo x uma vez ela está crescendo e quando ela cortar na próxima vez, ela estará decrescendo (ou vice versa).

Desse modo, o caso (i) nos dá que , enquanto o caso (ii) nos fornece . De qualquer modo, temos