Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 45
Faça o gráfico da função . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de próximo a esses dois pontos? O que você conclui sobre a diferenciabilidade de ?
Passo 1
E aí, tudo bem?! Temos a função:
Aqui a gente precisa plotar esse gr��fico e depois dar um zoom em direção as pontos ) e . Depois temos que analisar esses pontos, compara-los e no final dar o nosso veredito sobre a diferenciabilidade de !
Aqui a gente não precisa esboçar na mão! No livro tem uma figurinha rosinha do lado desse enunciado. Isso significa que ele espera que você plote o gráfico com o auxílio de um software, que pode ser um programa ou um site!
Pra uma função ser diferenciável em um ponto deve ser contínua nesse ponto, mas quando a curva tem uma mudança abrupta, como uma “quina” ou uma “dobra��� , ou então um ponto de inflexão, ela não vai ser derivável!
Agora vamos ao que interessa, mãos à obra!
Passo 2
Plotando o gráfico:
Agora o zoom em :
E na origem:
No ponto a função é crescente e quando damos um zoom vimos que nessa região a função parece uma reta! Já na origem o gráfico tem uma mudança muito repentina de inclinação, que deixa de ser negativa para ser positiva formando uma espécie de ��bico”!
Como vimos lá em cima quando temos um “bico” a função não é diferenciável. Mas porque?!
A derivada é a inclinação da reta tangente a curva no ponto, maaas se a gente tem uma quina, ou então um ponto de inflexão a sua reta tangente vai ser vertical. E qual é a inclinação de uma reta vertical?!
Seria infinito, certo?! Se não é um número então dizemos que a função não é diferenciável nesse ponto!
Beleza, mas esse é o único ponto “problemático” da função, certo?!
Então, podemos dizer que a função é derivável, exceto no ponto !
Resposta
Esboço do gráfico e desenvolvimento.