Faça o gráfico da função f(x) = x + raiz(|x|) . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você conclui sobre a diferenciabilidade de f ?

Passo 1

E aí, tudo bem?! Temos a função:

f x = x + x

Aqui a gente precisa plotar esse gr��fico e depois dar um zoom em direção as pontos ( - 1,0 ) e 0,0 . Depois temos que analisar esses pontos, compara-los e no final dar o nosso veredito sobre a diferenciabilidade de f !

Aqui a gente não precisa esboçar na mão! No livro tem uma figurinha rosinha do lado desse enunciado. Isso significa que ele espera que você plote o gráfico com o auxílio de um software, que pode ser um programa ou um site!

Pra uma função ser diferenciável em um ponto f x deve ser contínua nesse ponto, mas quando a curva tem uma mudança abrupta, como uma “quina” ou uma “dobra��� , ou então um ponto de inflexão, ela não vai ser derivável!

Agora vamos ao que interessa, mãos à obra!

Passo 2

Plotando o gráfico:

Agora o zoom em - 1,0 :

E na origem:

No ponto ( - 1,0 ) a função é crescente e quando damos um zoom vimos que nessa região a função parece uma reta! Já na origem o gráfico tem uma mudança muito repentina de inclinação, que deixa de ser negativa para ser positiva formando uma espécie de ��bico”!

Como vimos lá em cima quando temos um “bico” a função não é diferenciável. Mas porque?!

A derivada é a inclinação da reta tangente a curva no ponto, maaas se a gente tem uma quina, ou então um ponto de inflexão a sua reta tangente vai ser vertical. E qual é a inclinação de uma reta vertical?!

Seria infinito, certo?! Se não é um número então dizemos que a função não é diferenciável nesse ponto!

Beleza, mas esse é o único ponto “problemático” da função, certo?!

Então, podemos dizer que a função é derivável, exceto no ponto 0,0 !

Resposta

Esboço do gráfico e desenvolvimento.

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