42-Seja f definida em R e derivável em p. Suponha f ' p > 0 . Prove que existe r > 0 tal que:

f x > f p   e m   ] p , p + r [

e

f x < f p   e m   ] p - r , p [ .

Passo 1

Para demonstrar isso, precisamos lembrar da definição de derivada mais usual nos livros de cálculo 1:

f ' p = f p + r - f p r  

Como f ' p > 0 e r > 0 , precisamos que seja satisfeita a relação:

f p + r > f ( p )

E, portanto, f x > f ( p ) no intervalo de ] p , p + r [ .

Analogamente, no intervalo ] p - r , p [ , precisamos que seja satisfeito:

f p - f p - r r > 0

E, consequentemente, como r > 0 , f p > f ( x ) para qualquer x no intervalo.

Com isso, provamos ambas as afirmações.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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