Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 35
Lembre-se, da Seção , que uma função é dita harmônica em quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, em . Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no exercício ) para mostrar que se for harmônica em , então . Aqui é a derivada normal de definida no exercício .
Passo 1
E aê, gente bonita! Tudo show?
A questão quer que a gente use a primeira identidade de Green (do exercício ) para mostrar
Isso é, olhando pra seção , onde uma função g é dita harmônica em D quando satisfaz a equação de Laplace:
No exercício , tá provado que a derivada direcional na direção do vetor normal e é chamada derivada normal de g:
Vamos usar essa informação logo, logo!
Passo 2
Pela primeira identidade de Green temos:
Por simplicidade, vamos admitir , assim o gradiente dessa função é
Logo, teremos:
Show! 😊
Passo 3
Sabendo que é harmônica em , então
Aplicando isso na equação final do passo anterior temos:
E temos que
Então:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D