Lembre-se, da Seção 14.3 , que uma função g é dita harmônica em D quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, ∇ 2 g = 0 em D . Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no exercício 33 ) para mostrar que se g for harmônica em D , então ∮ D n → g d S = 0 . Aqui D n → g é a derivada normal de g definida no exercício 33 .

Passo 1

E aê, gente bonita! Tudo show?

A questão quer que a gente use a primeira identidade de Green (do exercício 33 ) para mostrar

∮ D n → g d S = 0

Isso é, olhando pra seção 14.3 , onde uma função g é dita harmônica em D quando satisfaz a equação de Laplace:

∇ 2 g = 0

No exercício 33 , tá provado que a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada derivada normal de g:

D n   g = ∇ g ⋅ n

Vamos usar essa informação logo, logo!

Passo 2

Pela primeira identidade de Green temos:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Por simplicidade, vamos admitir f x , y , z = 1 , assim o gradiente dessa função é

∇ f = 0 →

Logo, teremos:

∬ D ∇ 2 g d A = ∮ C ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ 0 → ) d A

∬ D ∇ 2 g d A = ∮ C ∇ g ⋅ n → d S

Show! 😊

Passo 3

Sabendo que g é harmônica em D , então

∇ 2 g = 0

Aplicando isso na equação final do passo anterior temos:

∮ C ∇ g ⋅ n → d S = 0

E temos que

∇ g ⋅ n → = D n →   g

Então:

∮ C D n →   g   d S = 0

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∮ C D n →   g   d S = 0

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