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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 1

Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4.

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De acordo com a definição da página 371 o campo gradiente de uma função derivável f ( x , y , z ) é um campo de vetores gradiente ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → .

Passo 2

Se f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 , para encontrarmos o campo de vetores gradiente de f ( x , y , z ) devemos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.Obs.: Para o cálculo das derivadas aplicamos a seguinte regra:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u × ∂ u ∂ x ,  com  u = x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Comecemos por derivar em relação a x :

∂ f ( x , y , z ) ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ x = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 x ) = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Em relação a y , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ y = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 y ) = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Em relação a z , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 z ) = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Passo 4

Substituindo os resultados na expressão ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j ‾ + ∂ f ∂ z k → , temos que:

∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → = - x i → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 - y → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 - z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 =   = - x i → - y j → - z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

∇ ‾ f = - ( x i → + y j → + z k → ) x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

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Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x y 2 z 2i + x 2 y z 2j + x 2 y 2 zk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F → x , y , z = x y e zi ^ + y z e xk ^