Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4.

f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De acordo com a definição da página 371 o campo gradiente de uma função derivável f ( x , y , z ) é um campo de vetores gradiente ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → .

Passo 2

Se f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 , para encontrarmos o campo de vetores gradiente de f ( x , y , z ) devemos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.Obs.: Para o cálculo das derivadas aplicamos a seguinte regra:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u × ∂ u ∂ x ,  com  u = x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Comecemos por derivar em relação a x :

∂ f ( x , y , z ) ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ x = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 x ) = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Em relação a y , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ y = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 y ) = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Em relação a z , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 z ) = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Passo 4

Substituindo os resultados na expressão ∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j ‾ + ∂ f ∂ z k → , temos que:

∇ ‾ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → = - x i → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 - y → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 - z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 =   = - x i → - y j → - z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

∇ ‾ f = - ( x i → + y j → + z k → ) x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2

Exercícios de Livros Relacionados