Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = ∞ ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x =   l i m x → 0 + 1 x 2 + 2 x ( 2 x + 2 ) 1 x = l i m x → 0 + ( 2 x + 2 ) ( x ) ( x 2 + 2 x ) =   l i m x → 0 + 2 x 2 + 2 x x 2 + 2 x  

Derivamos de novo...

l i m x → 0 +   2 x 2 + 2 x x 2 + 2 x = l i m x → 0 + 4 x + 2 2 x + 2

Substituímos o valor agora...

l i m x → 0 + 4 x + 2 2 x + 2 = 4 0 + 2 2 0 + 2 = 2 2 = 1

Prontinho😊

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x = 1

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