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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 33

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = ∞ ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x =   l i m x → 0 + 1 x 2 + 2 x ( 2 x + 2 ) 1 x = l i m x → 0 + ( 2 x + 2 ) ( x ) ( x 2 + 2 x ) =   l i m x → 0 + 2 x 2 + 2 x x 2 + 2 x  

Derivamos de novo...

l i m x → 0 +   2 x 2 + 2 x x 2 + 2 x = l i m x → 0 + 4 x + 2 2 x + 2

Substituímos o valor agora...

l i m x → 0 + 4 x + 2 2 x + 2 = 4 0 + 2 2 0 + 2 = 2 2 = 1

Prontinho😊

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x = 1

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Determine todos os valores de c que satisfaçam a conclusão do teorema do valor médio de Cauchy para as funções dadas e intervalo.a- f(x ) = x , g(x)= x 2 , (a, b) =(-2, 0)
Dado que x0, determine o valor máximo, se houver, de c. x 1 x n
Qual deles está correto e qual está incorreto? Justifique suaresposta. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e nx = l i m x → 3 2 x - 2 2 x - c o sx = l i m x → 3 2 2 - s e nx = 2 2 - 0 = 1 l i m x → 0 x 2 -
Dado que x0, determine o valor máximo, se houver, de b. x 1 x 2
Apenas um desses cálculos está correto. Qual? Por que os outrosestão errados? Justifique sua resposta. l i m x → 0 + x ⋅ l nx = 0 ⋅ - ∞ = 0 l i m x → 0 + x ⋅ l nx = 0 ⋅ - ∞ = - ∞ l i m x → 0 + x ⋅ l n