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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 45

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m t → ∞   e t + t 2 e t - t

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo ∞ ∞ :

l i m t → ∞   e t + t 2 e t - t = e ∞ + ∞ e ∞ - ∞ = ∞ ∞

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital, derivamos o termo com l i m no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m t → ∞   e t + t 2 e t - t = l i m t → ∞ d d t e t + t 2 d d t e t - t = l i m t → ∞ d d t e t - d d t ( t 2 ) d d t e t - d d t t

l i m t → ∞ e t - 2 t e t - 1 =

Passo 3

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação do tipo ∞ ∞ :

l i m t → ∞ e t - 2 t e t - 1 = e ∞ - 2 ⋅ ∞ e ∞ - 1 = ∞ ∞

Passo 4

Aplicando a regra de L`Hopital mais uma vez, teremos que:

l i m t → ∞ e t - 2 t e t - 1 = l i m h → 0 d d t e t - 2 t d d t e t - 1

l i m t → ∞ d d t e t - d d t 2 t d d t e t - d d t 1 = l i m t → ∞ e t - 2 e t - 0 = l i m t → ∞ e t - 2 e t

Passo 5

Substituindo o valor no limite, teremos que:

l i m t → ∞ e t - 2 e t = e ∞ - 2 e ∞ = ∞ ∞

Passo 6

Aplicando mais uma vez a Regra do L’Hopital temos que:

l i m t → ∞ e t - 2 e t = l i m t → ∞ d d t e t - 2 d d t e t = l i m t → ∞ d d t e t - d d t 2 d d t e t = l i m t → ∞ e t - 0 e t = l i m t → ∞ e t e t = 1

Resultado

Logo, conseguimos achar depois de aplicado três vezes a regra de L’Hopital, o valor definido do l i m da equação. O limite então possui o seguinte valor:

l i m t → ∞   e t + t 2 e t - t = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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