A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma.

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x c s c   x

Passo 1

Veja que temos um limite indeterminado, porém se aplicarmos L’Hôpital, ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x c s c   x =   l i m x → 0 + - csc 2 ⁡ x   - cot ⁡ x csc ⁡ x =   l i m x → 0 + csc ⁡ x cot ⁡ x

E vai continuar nesse ciclo sucessivamente...

Passo 2

Vamos reescrever o limite pela definição de cossecante e cotangente:

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x c s c   x =   l i m x → 0 + cos ⁡ x s e n   x 1 s e n x =   l i m x → 0 + cos ⁡ x

Substituímos o valor agora...

l i m x → 0 + cos ⁡ x = cos ⁡ 0 = 1

E... pronto😊

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x c s c   x = 1

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