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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 32

underset(x -> - oo)(lim) (root(3)(x) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4)

Passo 1

Temos que calcular um limite no infinito, certo? 

Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras: do produto, da soma, do quociente e etc...

Antes da gente começar se ligue numa coisa rapidinho: x^(- 1) = (1)/(x)

Então,

underset(x -> - oo)(lim) (root(3)(x) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4) = underset(x -> - oo)(l i m) (x^((1)/(3)) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4)

Como estamos numa divisão de polinômios, vamos dividir todo mundo pela maior potencia de x do denominador, beleza?

underset(x -> - oo)(l i m) (x^((1)/(3)) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4) = underset(x -> - oo)(l i m) ((x^((1)/(3)))/(x) - (5 x)/(x) + (3)/(x))/((2 x)/(x) + (x^((2)/(4)))/(x) - (4)/(x))

Passo 2

No nosso caso, como temos uma divisão, vamos usar primeiro a regra do quociente, então  

underset(x -> - oo)(l i m) ((1)/(x^((2)/(3))) - 5 + (3)/(x))/(2 + (1)/(x^((1)/(3))) - (4)/(x)) = (underset(x -> - oo)(l i m) ( (1)/(x^((2)/(3))) - 5 + (3)/(x) ))/(underset(x -> - oo)(l i m) ( 2 + (1)/(x^((1)/(3))) - (4)/(x) )) =

Passo 3

Usando a regra da soma: o limite da soma é a soma dos limites e da subtração (só trocar a palavra soma na regra anterior)

(underset(x -> - oo)(l i m) ( (1)/(x^((2)/(3))) - 5 + (3)/(x) ))/(underset(x -> - oo)(l i m) ( 2 + (1)/(x^((1)/(3))) - (4)/(x) )) = (underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) - underset(x -> - oo)(l i m) 5 + underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x))/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 + underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) - underset(x -> - oo)(l i m) (4)/(x))

Passo 4

Substituindo os limites, temos

(underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) - underset(x -> - oo)(l i m) 5 + underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x))/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 + underset(x -> - oo)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) - underset(x -> - oo)(l i m) (4)/(x)) = (0 - 5 + 0)/(2 + 0 - 0) = (5)/(2)

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) (root(3)(x) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4) = (5)/(2)

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Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites lim x → ∞ ⁡ 12 x 3 - 5 x + 2 1 + 4 x 2 + 3 x 3
Encontre o limite ou demonstre que não existe lim x → ∞ ⁡ 3 x + 5 x - 4
Encontre o limiteunderset(x - oo)(lim) (x + 2)/(sqrt(9 x^2 + 1))
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4
Encontre o limiteunderset(u - oo)(lim) (4 u^4 + 5)/((u^2 - 2) ( 2 u^2 - 1 ))