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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 24

24. underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 2 x + 1)/(x^4 - 1)

Passo 1

Nosso limite é o seguinte:

L = underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 2 x + 1)/(x^4 - 1)

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos x = - 1 , vamos ver o que acontece.

L = (1 - 2 + 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 2

Como temos polinômios no numerador e no denominador, a ideia vai ser fatorar. Lembra dessa fatoração?

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Então nosso denominador fica o seguinte:

x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1

Assim,

x^4 - 1 = ( x^2 - 1 ) ( x^2 + 1 )

O mesmo para termo x^2 - 1 :

x^4 - 1 = [(x - 1) * (x + 1)] * (x^2 + 1)

Nosso denominador já ta OK. Agora vamos ver o numerador!

x^2 + 2 x + 1

Aqui podemos resolver a equação do segundo grau e fatorar o polinômio ou lembrar do seguinte:

(x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos ver como ficam as coisas lá no limite

L = underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 2 x + 1)/(x^4 - 1)

Logo,

L = underset(x -> - 1)(lim) ((x + 1)^2)/((x - 1) * (x + 1) * (x^2 + 1))

O nosso x tende a - 1 ele nunca é - 1 . Assim, x + 1 != 0 . Simplificando:

L = underset(x -> - 1)(lim) ((x + 1))/((x - 1) * (x^2 + 1))

Para x = - 1 :

L = ((- 1 + 1))/((- 1 - 1) * (1 + 1)) = 0

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 2 x + 1)/(x^4 - 1) = 0

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27. lim x → 16 ⁡ 4 - x 16 x - x 2