1. Definir o domínio de .

💡 Lembrando:

• O domínio de é o conjunto dos valores de para os quais está definida.

A função

é um quociente, então não está definida para valores em que o denominador é zero. Vamos descobrir que valores são esses!

Como

então

quando

Assim, o domínio da função é:

💡 Lembrando:

• Para descobrir a interseção com o eixo , precisamos avaliar a função em .
• Para descobrir a interseção com o eixo , precisamos avaliar a função em .

Como vimos no passo anterior que a função não está definida em então a função não intersecta o eixo

Além disso, como

e

então substituindo em

teremos:

Podemos simplificar o fator .

Assim:

logo,

Isso mostra que é o ponto de interseção da curva com o eixo .

💡 Lembrando:

• Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo .
• Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem.
• Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período.

Podemos verificar que não possui simetria, avaliando em , por exemplo.

1. A função não é par. Pois:

e

Ou seja,

2. A função não é ímpar. Pois:

e

Ou seja,

3. Não possui período.

Como não satisfaz nenhum dos casos, não possui simetria.

💡 Lembrando:

• Para assíntotas horizontais: Calcular os limites de para mais ou menos infinito. Se esse resultado for um valor constante, então esse valor será uma assíntota horizontal da função.
• Para assíntotas verticais: Como a função é racional, vamos calcular o limite para os pontos que zeram o denominador, encontrados no Passo 2.

Como (dividindo pelo termo de maior potência)

e simplificando o fator então:

Calculando o limite do numerador e do denominador, temos que

A função tem uma assíntota horizontal em .

Agora vamos verificar se existem assíntotas verticais.

Para , vamos verificar se existe uma assíntota vertical.

Calculando o limite de tendendo para

Simplificando:

ou seja:

Como esse limite explode pra infinito, a função uma assíntota vertical em .

Da mesma forma, para :

Logo, não é uma assíntota vertical.

💡 Lembrando:

• Se em um intervalo, então é crescente nele.
• Se em um intervalo, então é decrescente nele.

Aplicando a regra do quociente para derivadas em (simplificação vista no Passo 3).

Para todo

Logo, é decrescente em todo o domínio D.

Passo 7

• Encontrar os números críticos de e usar o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos e valores de máximo e mínimo de .

💡 Lembrando:

• Um número crítico de é um ponto em que ou não existe!

Teste da Primeira Derivada:

• Se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local.
• Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.

Assim, como

a derivada nunca é igual a zero para nenhum valor real.

Perceba que apesar de ser um ponto onde a derivada não está definida, como ele não está no domínio da função , ele não pode ser um número crítico de .

A função não possui pontos extremos.

💡 Lembrando:

• Se , a função é côncava para cima.
• Se , a função é côncava para baixo.

Como

então é côncava para baixo com no intervalo e côncava para cima com nos intervalos e .

Se quiser confirmar, pegue um ponto dentro do intervalo e avalie a função neste ponto.

Use as informações que descobrimos nos passos anteriores para marcar os pontos de máximo e mínimo, e esboçar a curva considerando a concavidade e o sinal da função em cada intervalo que achamos. 😊

Em seguida, compare com o gráfico dado.

Vamos resumir as informações importantes aqui.

• O domínio da função é
• A função não intersecta o eixo e só tem um ponto de interseção com o eixo , que é o ponto
• A função não possui nenhuma simetria nem período.
• A função tem uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical
• A função é decrescente em todo o domínio, ou seja, em , e
• A função não possui extremos.
• A função tem concavidade para baixo no intervalo e concavidade para cima nos intervalos e

Ufa! Conseguimos. Até a próxima 😊!