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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 10

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 4 cos ² ⁡ 2 x . Vejamos que, no intervalo indicado, cos ⁡ 2 x = 0 somente para x = π 4 e   x = 3 π 4 .

Passo 2

Calculando f ' x utilizando a regra da cadeia, teremos:

u v ' = u ' v . v ' → f ' x = 4 . ( 2 cos ⁡ 2 x ) . - s e n   2 x .   2 → f ' x = - 16 s e n   ( 2 x ) c o s   ( 2 x )

Usando que s e n   2 x = 2 cos ⁡ x s e n   x →   f ' x = - 8 s e n   ( 4 x )

No intervalo indicado, 0 ≤ 2 x ≤ 3 π 2 ,   a derivada varia entre - 8 ≤ f ´ ( x ) ≤ 8 . Então, teremos o seguinte:

Passo 3

Calculando f ' ' x utilizando novamente a regra da cadeia, teremos:

f ' ' x = - 8.4 cos ⁡ 4 x = - 32 cos ⁡ 4 x

Pela tabela acima,

f ' ' π 4 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' π 2 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

f ' ' 3 π 4 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

Passo 4

Passo 5

Utilizando os dados da tabela e calculando alguns pontos, teremos:

Passo 6

Vejamos que, verificando os extremos do domínio da função, f 0 = 4   e   f 3 π 2 = 4 . Além disso, f π 4 = 0 ,   f π 2 = 4   e   f 3 π 4 = 0 .   Assim, 2 é um máximo absoluto. E além disso, 0 é um mínimo absoluto.

Resposta

Gráfico:

E os valores de máximo e mínimo absoluto são, respectivamente, 4   q u a n d o   x = 0 , π 2 , 3 π 2 e 0   q u a n d o   x = π 4 , 3 π 4 .  

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