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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 4

underset(t -> 0)(lim) (sin 3 t)/(sin 6 t)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 3, 6 e t para em seguida aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

(underset(t -> 0)(lim) sin 3 t) * (underset(t -> 0)(lim) (1)/(sin 6 t))

(underset(t -> 0)(lim) sin 3 t) * (3)/(3) * (underset(t -> 0)(lim) (1)/(sin 6 t)) * (6)/(6) * (t)/(t)

(3)/(6) (underset(t -> 0)(lim) (sin 3 t)/(3 t)) * (underset(t -> 0)(lim) (6 t)/(sin 6 t))

Passo 2

Agora vamos substituir 3t por u, 6t por v e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

3 t = u , 6 t = v

t -> 0 => u -> 0 , t -> 0 => v -> 0

(3)/(6) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(v -> 0)(lim) (v)/(sin v))

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(v) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(3)/(6) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(v -> 0)(lim) (v)/(sin v)) * ((1)/(v))/((1)/(v))

(3)/(6) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(v -> 0)(l i m) 1)/(underset(v -> 0)(l i m) (sin v)/(v)))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x) = 1 .

(3)/(6) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(v -> 0)(l i m) 1)/(underset(v -> 0)(l i m) (sin v)/(v)))

(3)/(6) (1) * ((1)/(1))

(1)/(2)

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (sin 3 t)/(sin 6 t) = (1)/(2)

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