Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 35

As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.

Use um esboço do campo vetorial para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?

Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais e . Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto .

Passo 1

Faaaaala minha turma, tudo bem?

Essa questão tem bastante informação, então vamos sintetizar o que devemos fazer.

No item (a) devemos usar um esboço do campo vetorial para desenhar algumas linhas de escoamento, e com base nisso é possível descobrir qual a equação das linhas de escoamento.

No item (b), sabendo que as equações paramétricas de uma linha de escoamento é:

Então, devemos explicar porque essas funções satisfazem as equações diferenciais e .

Depois, resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto .

Bastante informação né pessoal!? Vamos com calma.

Para resolver o item (a) vamos precisar avaliar cada quadrante, e assumir valores dentro do quadrante para entender a direção do vetor. Sabendo a direção do campo de vetores, sabemos a direção da linha de escoamento, e a partir da linha de escoamento podemos estimar uma equação.

Já no item (b), porque que as equações satisfazem? É porque um vetor velocidade nas linhas de escoamento coincide com o vetor de campo vetorial. Quando você analisa o esboço do item (a) fica claro isso.

Você precisar resolver as equações diferenciais:

Depois que resolver essas equações, uma dica para eliminar o termo t e achar uma expressão que dependa apenas de e , é você fazer vezes . Você vai perceber que vai dar igual a uma constante, e para achar o valor dessa constante aplique o ponto dado de:

Bora lá!!! Faça com calma esse exercício!

Passo 2

Vamos começar pelo item (a).

Temos a seguinte função do campo vetorial:

Vamos avaliar seu comportamento em cada quadrante. Lembre-se que:

Para o primeiro quadrante, vamos pegar os pontos:

Aplicando em , temos:

Observe que o vetor está direcionado para o eixo negativo de y e para o eixo positivo de x, e conforme se afastamos da origem o tamanho do vetor aumenta.

Para o segundo quadrante, vamos pegar os pontos:

Aplicando em , temos:

Agora o vetor está direcionado para o eixo negativo de y e para o eixo negativo de x, e conforme se afastamos da origem o tamanho do vetor aumenta.

Para o terceiro quadrante, vamos pegar os pontos:

Aplicando em , temos:

Perceba, que o vetor está direcionado para o eixo positivo de y e para o eixo negativo de x, e conforme se afastamos da origem o tamanho do vetor aumenta.

Por fim, o quarto quadrante, vamos pegar os pontos:

Aplicando em , temos:

Perceba, que o vetor está direcionado para o eixo positivo de y e para o eixo positivo de x, e conforme se afastamos da origem o tamanho do vetor aumenta.

Passo 3

Então, já sabemos o comportamento do vetor em cada quadrante.

Dessa forma, podemos fazer o seguinte esboço para esse campo vetorial :

Para as linhas de escoamento, elas seguem o sentido do vetor. Observe na figura abaixo as linhas em vermelho, elas são as linhas de escoamento.

Essas linhas de escoamento tem a cara de uma função muito conhecida. A função:

Repare o gráfico dessa função:

Bom, parece que as linhas de escoamento são similares aos gráficos de .

Então talvez a equação das linhas de escoamento seja .

Passo 4

Agora vamos para o item (b).

Para justificar porque as equações paramétricas de uma linha de escoamento satisfazem as equações diferenciais. Observe o seguinte:

O vetor velocidade de um ponto na linha de escoamento vai coincidir justamente com o vetor no ponto do campo vetorial.

Agora vamos focar em resolver as equações diferenciais:

Faz uma pausa, e entenda de onde saiu essas relações de equação diferencial.

A velocidade de uma partícula é dada pela derivada de sua posição em relação ao tempo:

Onde,

Logo:

Para que a trajetória siga o campo vetorial, a velocidade da partícula deve ser igual à força (ou velocidade) dada pelo campo vetorial em cada ponto. Portanto: