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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 23

Determine o campo vetorial gradiente de f .

f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Galera, lá da teoria a gente sabe que o campo vetorial gradiente de f será o seguinte:

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Então, é só calcular as derivadas parciais de f .

Passo 2

f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Para f_x , temos:

(del f)/(del x) = (1)/(2) * (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) * ( 2 x )

Assim,

(del f)/(del x) = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Repare que para os outros vai ficar bem parecido, olha como fica o f_y :

(del f)/(del y) = (1)/(2) * (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) * ( 2 y )

Simplificando,

(del f)/(del y) = (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Por fim, vamos ver o f_z :

(del f)/(del z) = (1)/(2) * (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) * ( 2 z )

Logo,

(del f)/(del z) = (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Passo 3

Do Passo 1, temos:

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Substituindo com o que acharmos no Passo 2:

grad f = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) i + (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) j + (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) k

Resposta

grad f = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) i + (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) j + (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) k

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