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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 24

Localize os pontos críticos e identifique quais deles correspondem a pontos estacionários:

  1. f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + 1
  2. f x = x 4 - 6 x 2 - 3

Passo 1

  1. Vamos derivar a função:

    2. f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + 1

    Derivamos aplicando a derivada de um polinômio :

    f '   ( x ) = 3 x 2 + 6 x - 9

    Esmos procurando o ponto onde :

    f '   x = 3 x 2 + 6 x - 9 = 0

    Para isso, encontramos a raiz da primeira derivada:

    3 x 2 + 6 x - 9 = 0

    Resolvendo a equação de segundo grau:

    x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a = - 6 ±   6 2 - 4 . 3 . ( - 9 ) 2 a

    x ' = - 3

    x ' ' = 1

    Portanto, as raízes onde f '   x = 0 são : x = - 3 e x = 1 . Esses são os pontos críticos e também estacionários (onde a raíz é definida na função).

    Passo 2

  2. Vamos derivar a função:

f x = x 4 - 6 x 2 - 3

Derivamos aplicando a derivada de um polinômio :

f '   x = 4 x 3 - 12 x

Também pode ser lido como:

f '   x = 4 x ( x 2 - 3 )

Esmos procurando o ponto onde :

f '   x = 4 x ( x 2 - 3 ) = 0

Para isso, encontramos a raiz da primeira derivada:

4 x ( x 2 - 3 ) = 0

A primeira raíz será com :

4 x = 0

x = 0

A próxima raiz será com:

( x 2 - 3 ) = 0

x 2 = 3

x = ±   3

Portanto, as raízes onde f '   x = 0 são : x = 0 e x = ±   3 . Esses são os pontos críticos e também estacionários (onde a raíz é definida na função).

Resposta

(a)   x = - 3 e x = 1

(b) x = 0 e x = ±   3

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