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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 22

22. int ( sqrt(x) - (1)/(sqrt(x)) ) d x

Passo 1

Essa integral parece ser extremamente difícil no primeiro momento, porém basta recordarmos das propriedades de radiciação e potenciação que podemos deixa-la de uma forma bem mais tranquila para ser trabalhada.

Vamos recordar que qualquer raiz pode ser escrita em forma de uma potencia, logo nossa integral assume a seguinte forma:

I = int ( x^((1)/(2)) - (1)/(x^((1)/(2))) ) d x

Passo 2

Agora para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( x^((1)/(2)) ) d x ] - [ int ( (1)/(x^((1)/(2))) ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

int (1)/(x^((1)/(2))) = int x^(- (1)/(2))

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = [ int ( x^((1)/(2)) ) d x ] - [ int ( x^(- (1)/(2)) ) d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Agora que temos base teórica, podemos iniciar a resolução do exercício.

I = [ int ( x^((1)/(2)) ) d x ] - [ int ( x^(- (1)/(2)) ) d x ]

I = ((x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) - ((x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + c

I = ((x^((3)/(2)))/((3)/(2))) - ((x^((1)/(2)))/((1)/(2))) + c

Resposta

Resultado final:

I = ((2 x^((3)/(2)))/(3)) - (2 x^((1)/(2))) + c

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