22. ∫ ( x - 1 x ) d x

Passo 1

Essa integral parece ser extremamente difícil no primeiro momento, porém basta recordarmos das propriedades de radiciação e potenciação que podemos deixa-la de uma forma bem mais tranquila para ser trabalhada.

Vamos recordar que qualquer raiz pode ser escrita em forma de uma potencia, logo nossa integral assume a seguinte forma:

I = ∫ ( x 1 2 - 1 x 1 2 )   d x

Passo 2

Agora para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( x 1 2 ) d x ] - [ ∫ ( 1 x 1 2 ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

∫ 1 x 1 2 = ∫ x - 1 2

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = [ ∫ ( x 1 2 ) d x ] - [ ∫ ( x - 1 2 ) d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Agora que temos base teórica, podemos iniciar a resolução do exercício.

I = [ ∫ ( x 1 2 ) d x ] - [ ∫ ( x - 1 2 ) d x ]

I = x 1 2 + 1 1 2 + 1 - x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + c

I = x 3 2 3 2 - x 1 2 1 2 + c

Resposta

Resultado final:

I = 2 x 3 2 3 - 2 x 1 2 + c

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