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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 49

Nos Exercícios de 47 a 50, ache f ' ( a ) aplicando a fórmula (7).

49) f x = 1 2 x + 3 ; a = 3

Passo 1

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = 1 2 x + 3 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ 1 2 x + 3 - ( 1 2.3 + 3 ) x - 3

Simplificando, temos:

f ' ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ 1 2 x + 3 - 1 3 x - 3

Multiplicando numerador e denominador por ( 1 2 x + 3 + 1 3 ) , conseguimos utilizar a diferença de quadrados ( a 2 - b 2 = a + b . a - b ) e simplificar a expressão:

f ' 3 = lim x → 3 ⁡ ( 1 2 x + 3 - 1 3 ) ( x - 3 ) . 1 2 x + 3 + 1 3 1 2 x + 3 + 1 3

Chegando a:

lim x → 3 ⁡ - 1 2 x + 3 3

Na variável a:

f ' a = - 1 2 x + 3 3

Substituindo a = 3

f ' 3 = - 1 81

Resposta

f ' 3 = - 1 81

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