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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 30

Prove que a função

F x = ∫ x 5 x 1 t d t

É constante no intervalo ( 0 , + ∞ ) usando o exercício 28 para encontrar F ' ( x ) . Obtenha a constante.

Passo 1

No exercício 28, vimos que:

d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = f g x g ' x - f h x h ' ( x )

Passo 2

Show! Então, vamos calcular a derivada disso aí:

F x = ∫ x 5 x 1 t d t

d d x ∫ x 5 x 1 t d t = 1 5 x 5 x ' - 1 x x '

∴

d d x ∫ x 5 x 1 t d t = 1 x - 1 x = 0

Opa, se a derivada de F ( x ) deu zero, isso, por si só, já quer dizer que ela é uma função constante. Para achar a constante vamos calcular a integral.

Passo 3

Então, vamos calcular isso aí:

F x = ∫ x 5 x 1 t d t = ln ⁡ 5 x - ln ⁡ x = ln ⁡ 5 x x

∴

F x = ∫ x 5 x 1 t d t = ln ⁡ 5

Resposta

Provado no passo a passo que F x = ln ⁡ 5 .

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