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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Ache (d y)/(d x)

Passo 1

Sabendo que y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

, (d y)/(d x) será:

(d)/(d x) ((e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)))

E para resolver essa questão vamos começar pela regra do quociente: ((f)/(g))^' = (f^' * g - g^' * f)/(g^2)

Logo, vamos separar as frações do numerador e do denominador e encontrar suas derivadas:

(d)/(d x) (e^x - e^(- x)) = e^x + e^(- x)

(d)/(d x) (e^x + e^(- x)) = e^x - e^(- x)

Passo 2

E então aplicar a regra do quociente:

= ((d)/(d x) (e^x - e^(- x)) (e^x + e^(- x)) - (d)/(d x) (e^x + e^(- x)) (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x))^2)

(((e^x + e^(- x))) ((e^x + e^(- x))) - ((e^x - e^(- x))) ((e^x - e^(- x))))/((e^x + e^(- x))^2)

Agora é só dar uma arrumada

= (e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - e^(2 x) + 2 - e^(- 2 x))/((e^x + e^(- x))^2)

= (4)/((e^x + e^(- x))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (4)/((e^x + e^(- x))^2)

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