Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 27

Encontre

(d)/(d x) (int_(3 x)^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t)

Escrevendo

int_(3 x)^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t = int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t + int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t

Passo 1

Bom, se temos que derivar uma soma de integrais:

(d)/(d x) (int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t + int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t)

A derivada da soma é a soma das derivadas, então, temos que resolver:

(d)/(d x) (int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t) + (d)/(d x) (int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t)

Passo 2

Show! Já vimos que:

(d)/(d y) (int_(g (x))^a f (t) d t) = - f (g (x)) g^' (x)

Então, resolvendo a primeira derivada:

(d)/(d x) (int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t) = - ((3 x - 1)/(9 x^2 + 1)) (3 x)^' = - (9 x - 3)/(9 x^2 + 1)

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, na segunda derivada:

(d)/(d x) (int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t) = ((x^2 - 1)/(x^4 + 1)) (x^2)^' = (2 x^3 - 2 x)/(x^4 + 1)

Passo 4

Voltando à soma inicial:

(d)/(d x) (int_(3 x)^0 (t - 1)/(t^2 + 1) d t + int_0^(x^2) (t - 1)/(t^2 + 1) d t) = - (9 x - 3)/(9 x^2 + 1) + (2 x^3 - 2 x)/(x^4 + 1)

Prontinho, essa é a nossa resposta!

Resposta

- (9 x - 3)/(9 x^2 + 1) + (2 x^3 - 2 x)/(x^4 + 1)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a integral indefinida geral.int x (1 + 2 x^4) d x
Ache a integral indefinida geral.int sec t (sec t - tg t) d t
Ache a integral indefinida geral. 11 . ∫ x 3 - 2 x x d x
Ache a integral indefinida geral.15 . int (theta - csc theta cot theta) d theta
Ache a integral indefinida geralint (c o s s e c^2 t - 2 e^t) . d t