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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 23

23. int ( (2)/(x^3) + (3)/(x^2) + 5 ) d x

Passo 1

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( (2)/(x^3) ) d x ] + [ int ( (3)/(x^2) ) d x ] + [ int (5) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

(1)/(x^n) = x^(- n)

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = [ int 2 ( x^(- 3) ) d x ] + [ int 3 ( x^(- 2) ) d x ] + [ int (5) d x ]

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 2 int ( x^(- 3) ) d x ] + [ 3 int ( x^(- 2) ) d x ] + [ 5 int (1) d x ]

I = [ 2 int ( x^(- 3) ) d x ] + [ 3 int ( x^(- 2) ) d x ] + [ 5 int x^0 d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Tendo passe teórica sufuciente, podemos agora partir ao trabalho, vamos integrar!!!

I = [ 2 int ( x^(- 3) ) d x ] + [ 3 int ( x^(- 2) ) d x ] + [ 5 int x^0 d x ]

I = 2 ((x^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) + 3 ((x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + 5 ((x^(0 + 1))/(0 + 1)) + c

I = (2 x^(- 2))/(- 2) + (3 x^(- 1))/(- 1) + 5 x + c

Resposta

Resposta final:

I = - x^(- 2) - 3 x^(- 1) + 5 x + c

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