23. ∫ ( 2 x 3 + 3 x 2 + 5 ) d x

Passo 1

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( 2 x 3 ) d x ] + [ ∫ ( 3 x 2 ) d x ] + [ ∫ 5 d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

1 x n = x - n

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = [ ∫ 2 ( x - 3 ) d x ] + [ ∫ 3 ( x - 2 ) d x ] + [ ∫ 5 d x ]

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a x )   d x = a ∫ x d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 2 ∫ ( x - 3 ) d x ] + [ 3 ∫ ( x - 2 ) d x ] + [ 5 ∫ 1 d x ]

I = [ 2 ∫ ( x - 3 ) d x ] + [ 3 ∫ ( x - 2 ) d x ] + [ 5 ∫ x 0 d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Tendo passe teórica sufuciente, podemos agora partir ao trabalho, vamos integrar!!!

I = [ 2 ∫ ( x - 3 ) d x ] + [ 3 ∫ ( x - 2 ) d x ] + [ 5 ∫ x 0 d x ]

I = 2 x - 3 + 1 - 3 + 1 + 3 x - 2 + 1 - 2 + 1 + 5 x 0 + 1 0 + 1 + c

I = 2 x - 2 - 2 + 3 x - 1 - 1 + 5 x + c

Resposta

Resposta final:

I = - x - 2 - 3 x - 1 + 5 x + c

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